Η Τεχνητή Νοημοσύνη χρησιμοποιείται πλέον για την απόδειξη νέων αποτελεσμάτων με ταχύ ρυθμό. Οι μαθηματικοί θεωρούν ότι αυτό είναι μόνο η αρχή.
Εισαγωγή
Του Konstantin Kakaes
Συνεργαζόμενος αρθρογράφος
13 Απριλίου 2026
Η καμπή ήρθε το καλοκαίρι του 2025. Εκείνον τον Ιούλιο, αρκετά μοντέλα τεχνητής νοημοσύνης έλυσαν πέντε από τα έξι προβλήματα της Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας (International Mathematical Olympiad), ενός ετήσιου διαγωνισμού για ορισμένους από τους καλύτερους μαθητές λυκείου στον κόσμο. Ωστόσο, παρότι οι μαθηματικοί αιφνιδιάστηκαν — λίγοι περίμεναν ότι τα προγράμματα θα έφταναν τόσο γρήγορα σε αυτό το επίπεδο — τα εντυπωσιακά αυτά αποτελέσματα δεν σήμαιναν κατ’ ανάγκην ότι η ΤΝ θα έκανε σημαντικά άλματα στη μαθηματική έρευνα. Άλλωστε, τα προβλήματα των Ολυμπιάδων είναι απαιτητικοί γρίφοι με γνωστές απαντήσεις, όχι ανοικτά ερωτήματα.
Παρά ταύτα, τα αποτελέσματα αυτά τράβηξαν την προσοχή. Μαθηματικοί που μέχρι τότε απέρριπταν τα μοντέλα ΤΝ ως υπερβολικά επιρρεπή σε σφάλματα για να είναι χρήσιμα, άρχισαν να πειραματίζονται μαζί τους. Εκείνοι οι πρώτοι χρήστες διαπίστωσαν, προς έκπληξή τους, όχι μόνο ότι τα μοντέλα ήταν καλά σε γρίφους, αλλά και ότι μπορούσαν να βοηθήσουν στην επίτευξη πραγματικά νέων αποτελεσμάτων. Σύντομα, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν την ΤΝ για να ανακαλύπτουν και να αποδεικνύουν νέα θεωρήματα ή προτάσεις, κατορθώνοντας μέσα σε μία ημέρα ό,τι παλαιότερα θα απαιτούσε εβδομάδες ή και μήνες. «Το 2025 ήταν η χρονιά κατά την οποία η ΤΝ άρχισε πραγματικά να είναι χρήσιμη για πολλές διαφορετικές εργασίες», δήλωσε ο Terence Tao, εξέχων μαθηματικός στο University of California, Los Angeles.
Παρότι κανένα μεμονωμένο νέο αποτέλεσμα δεν συνιστά κοσμοϊστορική τομή, ορισμένα από αυτά είναι συγκρίσιμα με ανακαλύψεις που δημοσιεύονται σε επαγγελματικά μαθηματικά περιοδικά. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι αλγόριθμοι διατυπώνουν μια εικασία (conjecture), την αποδεικνύουν και επαληθεύουν την απόδειξη με ελάχιστη ανθρώπινη παρέμβαση. Σε άλλες, εκτενείς συνομιλίες με μεγάλα γλωσσικά μοντέλα (large language models) όπως το ChatGPT, το Claude ή το Gemini οδηγούν σε νέες αποδεικτικές στρατηγικές.
«Αυτός ο τύπος έχει ένα φτυάρι. Ο άλλος έχει μια αξίνα. Μαζί μπορούμε να ανοίξουμε μια σήραγγα», είπε ο Tao. Υπάρχει «πολλή δοκιμή ιδεών στην πράξη, για να δούμε ποιες αποδίδουν».
Παρότι ο Tao είναι ίσως ο πιο προβεβλημένος υποστηρικτής της χρησιμότητας της ΤΝ στα μαθηματικά, και άλλοι συμφωνούν.
Ακόμη και όταν επιλύει εύκολα προβλήματα, είπε ο Daniel Litt του University of Toronto, η ΤΝ «αλλάζει τον τρόπο με τον οποίο γίνονται τα μαθηματικά».
Σύντομα, «θα μοιάζει και θα βιώνεται εντελώς διαφορετικά από τον παραδοσιακό τρόπο άσκησης των μαθηματικών», δήλωσε ο Tao. Ενώ παλαιότερα οι μαθηματικοί μελετούσαν ένα πρόβλημα κάθε φορά, «με αυτά τα εργαλεία μπορείς να λύνεις χιλιάδες προβλήματα ταυτόχρονα και να αρχίσεις να κάνεις στατιστικές μελέτες». Αν και κανείς από όσους μίλησαν μαζί μου δεν πιστεύει ότι η ΤΝ θα αντικαταστήσει τους μαθηματικούς, ο Tao πρόσθεσε ότι «θα χρειαστεί να προχωρήσουμε σε πολλές θεσμικές και πολιτισμικές αλλαγές».
Οι αλλαγές αυτές θα αποτελέσουν αντικείμενο αντιπαράθεσης, στα μαθηματικά όπως και σε άλλα ακαδημαϊκά πεδία που παλεύουν με τον αντίκτυπο της ΤΝ. Καθώς τα μοντέλα ΤΝ εξελίσσονται σε ένα νέο, ισχυρό εργαλείο, ενέχουν τον κίνδυνο να οδηγήσουν τους μαθηματικούς σε απώλεια της άμεσης εμπειρίας της μαθηματικής κατανόησης, δήλωσε ο Akshay Venkatesh του Institute for Advanced Study. Όπως και ο Tao, ο Venkatesh είναι κάτοχος του Μεταλλίου Fields, της σημαντικότερης διάκρισης στα μαθηματικά. Αμφότεροι συμφωνούν ότι η επίδραση της ΤΝ θα είναι σημαντική, όμως ο Venkatesh εμφανίζεται πιο επιφυλακτικός: «Υπάρχουν πολύτιμα στοιχεία στον πολιτισμό μας τα οποία πρέπει να προσπαθήσουμε να διατηρήσουμε», είπε.
Ορισμένοι μαθηματικοί εγκαταλείπουν πλέον την ακαδημαϊκή κοινότητα για να εργαστούν σε μεγάλες τεχνολογικές εταιρείες, όπως η OpenAI και η Google, ή για να ενταχθούν σε νεοφυείς επιχειρήσεις ΤΝ με επίκεντρο τα μαθηματικά, όπως οι Harmonic, Logical Intelligence, Axiom Math και Math Inc.. «Ένας λόγος για τον οποίο υπάρχει τόσο έντονο ενδιαφέρον για την ΤΝ στα μαθηματικά στον εταιρικό κόσμο είναι ότι γίνεται πλέον αντιληπτό πως το κλειδί για τη γενική νοημοσύνη (general intelligence) βρίσκεται στον συνδυασμό των διορατικών στοιχείων που προσφέρει η μηχανική μάθηση με την ακρίβεια που προσφέρουν τα μαθηματικά», δήλωσε ο Jeremy Avigad, διευθυντής του Institute for Computer-Aided Reasoning in Mathematics στο Carnegie Mellon University.
Στις αρχές του 2026, το σοκ για τη δύναμη της ΤΝ είχε μετατραπεί σε κάτι που έμοιαζε περισσότερο με δέος. Μια πρόκληση του Φεβρουαρίου με την ονομασία First Proof έδωσε στους συμμετέχοντες μία εβδομάδα για να κάνουν τα μοντέλα ΤΝ τους να επιλύσουν 10 ερωτήματα ερευνητικού επιπέδου σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών. Οι μαθηματικοί είχαν επιλέξει τα ερωτήματα με τέτοιον τρόπο ώστε να είναι απίθανο να περιλαμβάνονταν στα δεδομένα εκπαίδευσης των αλγορίθμων. Με διαφορετικούς βαθμούς αυτονομίας, τα μοντέλα κατάφεραν να επιλύσουν περισσότερα από τα μισά προβλήματα. Αν τα αποτελέσματα της Ολυμπιάδας αντιπροσώπευαν τη στιγμή κατά την οποία η ΤΝ εισήλθε σε ένα φιλόδοξο προπτυχιακό πρόγραμμα μαθηματικών, τότε τα αποτελέσματα του First Proof ήταν, αναμφίβολα, η στιγμή κατά την οποία ολοκλήρωσε τις μεταπτυχιακές της σπουδές. Σε ανάρτησή του στο ιστολόγιό του, όπου ανέλυε τα αποτελέσματα, ο Litt έγραψε: «Είναι πολύ πιθανό αυτή η τεχνολογία να είναι σημαντικότερη από τον υπολογιστή».
Δημιουργική Εξέλιξη
Παρότι το καλοκαίρι του 2025 σηματοδότησε ένα σημείο καμπής στις δυνατότητες της ΤΝ, αυτό δεν προέκυψε από το πουθενά. Ο Pushmeet Kohli, αντιπρόεδρος επιστήμης της Google DeepMind, δήλωσε ότι η DeepMind προσπαθεί να επιλύσει μαθηματικά προβλήματα με τη χρήση ΤΝ ήδη από το 2018. Ο François Charton, σήμερα στην Axiom, ξεκίνησε να προσπαθεί να χρησιμοποιήσει τη μηχανική μάθηση για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων ήδη από το 2019.
Όμως, κατά τα πρώτα εκείνα χρόνια, επρόκειτο για ένα εξειδικευμένο πεδίο περιορισμένου ενδιαφέροντος. Αρχικά, ο Charton και λίγοι ακόμη ερευνητές χρησιμοποιούσαν την ΤΝ για να επιλύουν προβλήματα των οποίων οι λύσεις ήταν ήδη γνωστές, απλώς για να διαπιστώσουν αν οι νέες τεχνικές μπορούσαν πράγματι να λειτουργήσουν. Έως το 2024 είχαν αρχίσει να προχωρούν περισσότερο. Αναζητούσαν προβλήματα για τα οποία υπήρχε πλούσιο σύνολο δεδομένων προς ανάλυση και στη συνέχεια χρησιμοποιούσαν την ΤΝ για να κατασκευάζουν μαθηματικά αντικείμενα με ποσοτικοποιήσιμες ιδιότητες — όπως, για παράδειγμα, βέλτιστες διατάξεις σημείων που μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα πλέγμα χωρίς να σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο.
Τον Ιανουάριο του 2025, ο Tao και ο Javier Gómez-Serrano του Brown University άρχισαν να συνεργάζονται με δύο μαθηματικούς της DeepMind, τον Adam Wagner και τον Bogdan Georgiev, πάνω σε ένα σύστημα ΤΝ με την ονομασία AlphaEvolve. Το AlphaEvolve λειτουργεί χρησιμοποιώντας το Gemini για να γράφει προγράμματα σε κώδικα Python, τα οποία μπορεί να εκτείνονται σε εκατοντάδες γραμμές. Στη συνέχεια, «εξελίσσει» αυτά τα προγράμματα μέσω των λεγόμενων γενετικών αλγορίθμων (genetic algorithms), με στόχο να εντοπίσει βέλτιστες λύσεις σε μαθηματικά προβλήματα. Οι τέσσερις μαθηματικοί εφάρμοζαν το AlphaEvolve σε ένα νέο πρόβλημα κάθε μία ή δύο ημέρες επί αρκετούς μήνες.
Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, έμαθαν επίσης πώς να βελτιώνουν τα prompts που έδιναν στο AlphaEvolve. Ένα βασικό συμπέρασμα ήταν ότι το μοντέλο φαινόταν να ωφελείται από την ενθάρρυνση. Σύμφωνα με τον Gómez-Serrano, λειτουργούσε καλύτερα «όταν διατυπώναμε τα prompts με κάποια μορφή θετικής ενίσχυσης προς το LLM». «Για παράδειγμα, λέγοντας “μπορείς να το κάνεις” — αυτό φαινόταν να βοηθά. Είναι ενδιαφέρον. Δεν γνωρίζουμε γιατί.»
Έως τα τέλη Μαΐου, η ομάδα είχε δοκιμάσει το AlphaEvolve σε 67 διαφορετικά προβλήματα από αρκετούς κλάδους των μαθηματικών. Στα 23 από αυτά, το AlphaEvolve βελτίωσε, έστω και οριακά, τις καλύτερες γνωστές λύσεις. Στα 36 από τα 67, απέδωσε εξίσου καλά με ό,τι είχε ήδη επιτευχθεί, ενώ στα εναπομείναντα λίγα προβλήματα δεν κατάφερε να φτάσει το καλύτερο γνωστό αποτέλεσμα. Οι μαθηματικοί παρουσίασαν τα ευρήματά τους σε εργασία του Νοεμβρίου 2025 με τίτλο «Mathematical Exploration and Discovery at Scale». Ο Gómez-Serrano σημείωσε ότι οποιοδήποτε από τα επιμέρους αποτελέσματά τους θα μπορούσε πιθανώς να είχε επιτευχθεί από έναν ειδικό του αντίστοιχου πεδίου έπειτα από εργασία λίγων μηνών. Όμως, χωρίς οι ίδιοι να είναι ειδικοί σε πολλά από αυτά τα πεδία, «καταφέραμε να αποκτήσουμε συγκρίσιμα αποτελέσματα μέσα σε μία ή δύο ημέρες», είπε.
Όπως το διατύπωσε ο Tao, τα σημερινά μοντέλα ΤΝ είναι «πολύ καλά στο να εξετάζουν εξονυχιστικά μεγάλες λίστες προβλημάτων αναζητώντας εύκολες νίκες». Πρόκειται για εργασία «κουραστική, άχαρη και όχι κάτι που οι άνθρωποι θέλουν να κάνουν». Προειδοποίησε, ωστόσο, ότι τα μοντέλα επιτυγχάνουν «διάσπαρτες επιτυχίες μέσα σε μια μεγάλη θάλασσα από αποτυχίες που δεν αναφέρονται». Παρ’ όλα αυτά, οι επιτυχίες αυτές είναι αξιοσημείωτες.
Ο Gómez-Serrano εκτιμά ότι πλέον αφιερώνει περίπου τα δύο τρίτα του χρόνου του στη χρήση της ΤΝ. Όπως είπε, «φτάνουμε σε ένα σημείο όπου είναι χρήσιμη και αξιοποιήσιμη στην πράξη. Αυτή είναι η αρχή του νέου τρόπου με τον οποίο θα κάνουμε μαθηματικά».
Λανθασμένες Ταυτότητες
Τα προηγούμενα χρόνια, η πρόσθετη ισχύς της ΤΝ φαινόταν να προέρχεται από την ικανότητά της να επαναφέρει στο προσκήνιο παλαιές, σχεδόν λησμονημένες αποδείξεις, θαμμένες σε δυσπρόσιτες βιβλιογραφικές αναφορές. Ο Igor Pak του UCLA σημείωσε ότι το ChatGPT είναι σήμερα «εξαιρετικό στον εντοπισμό των σωστών παραπομπών, της κατάλληλης βιβλιογραφίας και των συνδέσεων που το Google Scholar — το οποίο δεν λειτουργεί σημασιολογικά — δεν μπορεί να βρει».
Στη συνέχεια, όμως, στη διάρκεια του 2025, όπως είπε ο Johannes Schmitt του Ελβετικού Ομοσπονδιακού Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Ζυρίχης (Swiss Federal Institute of Technology Zurich), κάτι μεταβλήθηκε. «Άρχισε να γίνεται χρήσιμο να συνομιλεί κανείς με τα LLMs, όχι επειδή σου έδιναν την πλήρη απάντηση», είπε, αλλά επειδή «έγιναν καλοί συνομιλητές».
Τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα (LLMs) με τα οποία συνομιλούσε έκαναν αναπόφευκτα πολλά λάθη, γεγονός που οδήγησε ορισμένους μαθηματικούς να τα απορρίψουν πλήρως. Πολλοί ερευνητές, είπε, καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι, αν «όλα όσα λέει είναι κατά κάποιον τρόπο λανθασμένα, τότε απλώς δεν θα συνομιλώ μαζί του». Άλλοι, όμως — και ο ίδιος κατατάσσει τον εαυτό του σε αυτή την κατηγορία — έχουν μεγαλύτερη ανοχή «στον κόπο να μιλάς με αυτό το μοντέλο που αερολογεί». Όπως λένε, «μπορώ παρ’ όλα αυτά να αποκομίσω κάτι από αυτή τη συζήτηση· ακόμη κι αν δεν είναι καλή κάθε ιδέα, μπορώ να αγνοήσω τις κακές και να κρατήσω τις καλές». Και τα λάθη, σημείωσε ο Schmitt, είναι παράξενα: ουσιαστικά δεν υπάρχει περίπτωση ένας άνθρωπος με οποιαδήποτε εκπαίδευση στα μαθηματικά να έκανε τόσο μεγάλο πλήθος στοιχειωδών σφαλμάτων και ταυτόχρονα να κατάφερνε να διατυπώσει λεπτές, πρωτότυπες και ορθές ιδέες.
Ο Ernest Ryu του UCLA, ο οποίος εργάζεται κυρίως σε έναν κλάδο των εφαρμοσμένων μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία βελτιστοποίησης (optimization theory), άρχισε επίσης να δίνει μεγαλύτερη προσοχή στα LLMs μετά τα αποτελέσματα της Ολυμπιάδας. Ενώ το AlphaEvolve προσπαθούσε να βελτιστοποιήσει συγκεκριμένα μεγέθη, ο Ryu ήθελε να αποδείξει αποτελέσματα σχετικά με τις συνθήκες υπό τις οποίες λειτουργούν οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης.
Το καλοκαίρι του 2025 παρατήρησε ότι οι μαθηματικές δυνατότητες των LLMs είχαν βελτιωθεί θεαματικά. Άρχισε να τα χρησιμοποιεί για να τον βοηθούν στην προετοιμασία σημειώσεων διαλέξεων, κυρίως για να καλύπτει κενά στη μνήμη του ως προς τις λεπτομέρειες μιας συγκεκριμένης απόδειξης. Κατά διαστήματα, όπως είπε, «εντόπιζε ένα σφάλμα στη συλλογιστική μου, άλλοτε σοβαρό και άλλοτε μικρό. Μερικές φορές έβρισκε και απλούστερη απόδειξη από εκείνη που είχα στις σημειώσεις μου».
Είχε την αίσθηση ότι τα μοντέλα ΤΝ «έδειχναν σημάδια ζωής». Θυμάται ότι αισθανόταν ταυτόχρονα σκεπτικισμό και αισιοδοξία. Για να διαμορφώσει δική του άποψη σχετικά με το τι μπορούν και τι δεν μπορούν να κάνουν τα LLMs, αποφάσισε να επιχειρήσει ένα πείραμα. Ένα βράδυ του Οκτωβρίου, αφού ο μικρός γιος του αποκοιμήθηκε, ξεκίνησε να λύσει ένα ανοικτό πρόβλημα στη θεωρία βελτιστοποίησης, το οποίο είχε προσπαθήσει να αντιμετωπίσει μερικές φορές και στο παρελθόν. Αυτή τη φορά χρησιμοποίησε το ChatGPT. «Δεν είναι το σημαντικότερο πρόβλημα, αλλά γνωρίζω 10 ανθρώπους που θα εκτιμούσαν πάρα πολύ μια λύση», είπε.
Το πρόβλημα του Ryu προτάθηκε για πρώτη φορά το 1983 από έναν Ρώσο μαθηματικό ονόματι Yurii Nesterov. Ο Nesterov προσπαθούσε να βρει το ελάχιστο συναρτήσεων που δέχονται ως εισόδους πολλές μεταβλητές και παράγουν μία μόνο τιμή εξόδου, η οποία συμπεριφέρεται «ομαλά» με έναν συγκεκριμένο μαθηματικό τρόπο. Αν φανταστεί κανείς τις τιμές εξόδου ως έναν υψομετρικό χάρτη, τότε θέλει να αποδείξει ότι τελικά συγκλίνει στο χαμηλότερο σημείο και δεν καταλήγει να ταλαντώνεται επ’ άπειρον αναζητώντας το.
Αυτό το είδος προβλήματος εμφανίζεται πολύ συχνά στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, ιδίως στη μηχανική μάθηση, όπου είναι κεντρικό για την εκπαίδευση νευρωνικών δικτύων. Ας υποθέσουμε ότι ξεκινάτε από κάποιο σημείο στον χάρτη σας. Μια ευρέως χρησιμοποιούμενη τεχνική, γνωστή ως κάθοδος κλίσης (gradient descent), χρησιμοποιεί βασικά εργαλεία του διαφορικού λογισμού για να προσδιορίσει προς ποια κατεύθυνση βρίσκεται η κατωφέρεια και πόσο απότομη είναι η κλίση στο σημείο όπου βρίσκεστε. Αν κάθε φορά κάνετε ένα βήμα προς τα κάτω κατά την κατεύθυνση της μέγιστης κλίσης, τελικά θα φτάσετε στο απολύτως χαμηλότερο σημείο.
Ωστόσο, παρότι η κάθοδος κλίσης θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση, μερικές φορές το επιτυγχάνει αυτό πολύ αργά. Γι’ αυτό οι μαθηματικοί αναζητούν εδώ και καιρό παραλλαγές της μεθόδου που συγκλίνουν στη σωστή λύση ταχύτερα. Ο Nesterov ανέπτυξε μία τέτοια τεχνική, στην οποία το μέγεθος κάθε καθοδικού βήματος εξαρτάται όχι μόνο από το πόσο απότομη είναι η συνάρτηση σε ένα δεδομένο σημείο, αλλά και από τη διαδρομή που έχετε ήδη ακολουθήσει για να φτάσετε εκεί. Αν στο παρελθόν κάνατε μεγαλύτερα βήματα, θα συνεχίσετε να κάνετε μεγαλύτερα βήματα.
Φαίνεται διαισθητικά προφανές ότι αυτό θα σας οδηγήσει ταχύτερα στον «πυθμένα του λόφου». Τι συμβαίνει όμως αν κινηθείτε υπερβολικά γρήγορα και υπερβείτε το ελάχιστο (overshoot); Τότε υπάρχει ο κίνδυνος να ταλαντώνεστε επ’ άπειρον γύρω από το πραγματικό ελάχιστο και να μην το επιτύχετε ποτέ. Ο Nesterov δεν κατόρθωσε να αποδείξει ότι ο αλγόριθμός του θα συγκλίνει τελικά στη βέλτιστη τιμή (optimal value). Και επί 42 χρόνια, κανείς άλλος δεν το κατάφερε επίσης.
Όταν ο Ryu απευθύνθηκε στο ChatGPT, «συνέχιζε να μου δίνει λανθασμένες αποδείξεις», είπε. «Όμως η πορεία προς το αναπόφευκτο σφάλμα περιλάμβανε ενδιαφέροντα βήματα, ορθά μερικά αποτελέσματα που φαίνονταν δυνητικά χρήσιμα». Καθώς το LLM σημείωνε σταδιακή πρόοδο, εκείνος έλεγχε τις απαντήσεις του, κρατούσε τα σωστά τμήματα και τα επανεισήγαγε στο μοντέλο με ένα νέο prompt. «Έπρεπε να αναλάβω τον ρόλο του επαληθευτή», είπε ο Ryu. «Με το ChatGPT ένιωθα ότι κάλυπτα πολύ μεγάλο έδαφος με εξαιρετικά γρήγορο ρυθμό, πολύ ταχύτερα απ’ όσο θα μπορούσα μόνος μου. Αυτό ήταν που με κράτησε».
Μέσα σε περίπου 12 ώρες εργασίας, κατανεμημένες σε τρεις ημέρες, είχε καταλήξει σε μια απόδειξη μιας απλουστευμένης εκδοχής του προβλήματος. Ύστερα από λίγες ακόμη ημέρες, απέδειξε τελικά ότι η μέθοδος του Nesterov συγκλίνει. Δεν ήταν, όπως είπε ο Ryu, «το πιο δημιουργικό πράγμα, ούτε το πιο περίπλοκο. Αλλά σίγουρα δεν ήταν και τόσο εύκολο». Αν και δεν πρόκειται για αποτέλεσμα που αλλάζει τη ζωή, πρόσθεσε, «είναι κάτι που θα μπορούσε να δημοσιευθεί σε ένα κορυφαίο περιοδικό βελτιστοποίησης ακόμη και χωρίς το στοιχείο της ΤΝ. Είναι ένα καλό αποτέλεσμα».
«Είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση όπου η χρήση του ChatGPT επιτάχυνε πραγματικά την ανακάλυψη», είπε. Και θεωρεί ότι οι δυνατότητες των LLMs θα συνεχίσουν μόνο να βελτιώνονται. «Αν κοιτάξει κανείς την ταχύτητα αυτής της βελτίωσης, είναι συγκλονιστική. Αν συνεχίσουμε έναν χρόνο αργότερα, ύστερα από δύο ή τρεις ακόμη γενιές μοντέλων, θα έχουμε πραγματικά εντυπωσιακές, ουσιαστικές ανακαλύψεις με τη βοήθεια της ΤΝ. Αυτό θα συμβεί».
Λίγους μήνες αφότου κοινοποίησε την εργασία του για τη μέθοδο του Nesterov, ο Ryu έλαβε άδεια απουσίας από το UCLA για να αναλάβει θέση στην OpenAI, όπου σήμερα είναι μέλος του τεχνικού προσωπικού.
Τάξη στο Δικαστήριο
Καθ’ όλη τη διάρκεια του 2025 και στους πρώτους μήνες του 2026, η ΤΝ χρησιμοποιήθηκε για την απόδειξη ολοένα και πιο αφηρημένων αποτελεσμάτων.
Τον Σεπτέμβριο του 2025, περισσότεροι από 100 μαθηματικοί από όλον τον κόσμο συγκεντρώθηκαν στο Brown University για ένα ειδικό πρόγραμμα στην αλγεβρική συνδυαστική (algebraic combinatorics). Ο Nicolás Libedinsky και ο David Plaza είχαν έρθει από τη Χιλή, ο José Simental από το Μεξικό, ο Geordie Williamson από την Αυστραλία και ο Jordan Ellenberg από το Ουισκόνσιν.
Όλοι τους ενδιαφέρονταν, για διαφορετικούς λόγους, να υπολογίσουν ένα μέγεθος που ονομάζεται d-αναλλοίωτο (d-invariant), το οποίο εμφανίζεται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Για να κατανοήσει κανείς τι είναι το d-αναλλοίωτο, βοηθά να εξετάσει πρώτα ένα καλά μελετημένο αντικείμενο σε έναν από αυτούς τους τομείς, γνωστό ως ομάδα μεταθέσεων (permutation group). Πρόκειται για ένα αντικείμενο που περιγράφει τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορεί κανείς να αναδιατάξει ένα σύνολο αντικειμένων, όπως για παράδειγμα τα χαρτιά μιας τράπουλας.
Αρχικά, η κατάσταση είναι απλή. Αν έχετε μια τράπουλα με ένα μόνο χαρτί, δεν μπορείτε να την ανακατέψετε. Επομένως, η ομάδα μεταθέσεων S₁ έχει ένα στοιχείο. Η S₂ έχει δύο στοιχεία: αν έχετε δύο χαρτιά, αυτά μπορούν να εμφανιστούν με δύο δυνατές σειρές. Η S₃ γίνεται κάπως πιο περίπλοκη· υπάρχουν έξι διαφορετικοί τρόποι να διαταχθούν τα χαρτιά μιας τριάδας.
Οι διαφορετικοί τρόποι διάταξης των χαρτιών μπορούν να οργανωθούν σε ένα δίκτυο από κορυφές και ακμές, το οποίο ονομάζεται γράφημα (graph). Η αρχική διάταξη, 123, τοποθετείται στο κάτω μέρος. Κάθε ακμή του γραφήματος (που σχεδιάζεται ως βέλος) αντιστοιχεί σε μια ανταλλαγή δύο χαρτιών.
Καθώς ο αριθμός των χαρτιών n αυξάνεται, η Sₙ μεγαλώνει πολύ γρήγορα — γεγονός που καθιστά αυτό το γράφημα σχεδόν αδύνατο να σχεδιαστεί για ομάδες πέρα από την S₄. (Η S₆₀ έχει περίπου τόσα στοιχεία όσα και τα άτομα στο παρατηρήσιμο Σύμπαν.)
Οι μαθηματικοί θέλουν να κατανοήσουν τη δομή αυτών των γραφημάτων τόσο ως αντικείμενα καθαυτά όσο και ως εργαλεία για την ανάλυση άλλων δομών.
Ας εξετάσουμε ξανά το γράφημα της ομάδας μεταθέσεων S₃, η οποία έχει έξι στοιχεία, δηλαδή έξι μεταθέσεις. Θέλουμε να διερευνήσουμε τη σχέση μεταξύ αυτών των μεταθέσεων. Ένας τρόπος είναι να εξετάσουμε όλους τους δυνατούς τρόπους μετάβασης από μία μετάθεση σε μια άλλη ακολουθώντας τα βέλη. Μια δεδομένη μετάθεση είναι «μικρότερη» από μια άλλη — με βάση έναν ορισμό μεγέθους που ονομάζεται διάταξη Bruhat (Bruhat order) — αν είναι δυνατό να κινηθεί κανείς κατά μήκος των βελών από την πρώτη μετάθεση προς τη δεύτερη. Έτσι, η 213 είναι μικρότερη από την 321.
Στη συνέχεια, μπορούμε να εξετάσουμε το διάστημα Bruhat (Bruhat interval) μεταξύ δύο μεταθέσεων — δηλαδή το σύνολο όλων των διαφορετικών μεταθέσεων που βρίσκονται ανάμεσά τους όταν ακολουθούμε τα βέλη του γραφήματος. Για παράδειγμα, το διάστημα μεταξύ των 213 και 321 (που φαίνεται παρακάτω με κόκκινο) περιλαμβάνει τις 231 και 312. (Αν δεν είναι δυνατό να μεταβούμε από μία μετάθεση σε μια άλλη ακολουθώντας τα βέλη, όπως από την 213 στην 132, τότε καμία από τις δύο δεν είναι μικρότερη από την άλλη και το μεταξύ τους διάστημα δεν ορίζεται.)
Το d-αναλλοίωτο που αντιστοιχεί σε δύο μεταθέσεις είναι, μιλώντας κάπως χαλαρά, ένα μέτρο της πολυπλοκότητας της υποκείμενης δομής του διαστήματος Bruhat τους. Το ίδιο μέγεθος εμφανίζεται σε μια σειρά από μαθηματικά ερωτήματα που κατά τα άλλα φαίνονται άσχετα μεταξύ τους, γεγονός που το καθιστά ιδιαίτερα σημαντικό για τους μαθηματικούς.
Στις μεγαλύτερες ομάδες μεταθέσεων, είναι δύσκολο να περιγραφεί με γενικό τρόπο η μορφή του διαστήματος Bruhat ανάμεσα σε δύο δοσμένες μεταθέσεις. «Τα διαστήματα είναι απλώς εξαιρετικά περίπλοκα αντικείμενα», είπε ο Libedinsky. Ο ίδιος, μαζί με τους Simental, Plaza, Williamson και Ellenberg — όλοι για διαφορετικούς λόγους επιδιώκοντας να εντοπίσουν το μεγαλύτερο δυνατό d-αναλλοίωτο για μια δεδομένη ομάδα μεταθέσεων — επιχείρησαν να αξιοποιήσουν την ΤΝ για να τους βοηθήσει.
Περιορισμένη πρόσβαση
Ορισμένοι μαθηματικοί ανησυχούν ότι η ΤΝ θα εντείνει τις ήδη υπάρχουσες ανισότητες. «Δεν μου διαφεύγει ότι ο λόγος για τον οποίο είχα πρόσβαση στο AlphaEvolve είναι επειδή πέρασα ένα εξάμηνο στις ΗΠΑ», δήλωσε ο José Simental του Εθνικού Αυτόνομου Πανεπιστημίου του Μεξικού στην Πόλη του Μεξικού. «Νομίζω ότι, ως κοινότητα, πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί ώστε να διασφαλίσουμε ισότιμη πρόσβαση σε αυτού του είδους τα εργαλεία».
Τελικά, κατέληξαν να βρουν κάτι εντελώς διαφορετικό.
Τον Οκτώβριο του 2025, ο Ellenberg ζήτησε από τον Wagner στη DeepMind να χρησιμοποιήσει το AlphaEvolve — το οποίο δεν είναι δημόσια διαθέσιμο — για να αναλύσει τις δομές των διαστημάτων Bruhat σε δεκάδες ομάδες μεταθέσεων. Το σύστημα εκτελέστηκε καθ’ όλη τη διάρκεια της νύχτας. «Το πρωί λέγαμε μεταξύ μας: αυτό το πρόγραμμα κάνει πράγματι κάτι ενδιαφέρον», είπε ο Williamson. «Και θυμάμαι ότι εκείνη την ημέρα ακολούθησε καταιγισμός ηλεκτρονικών μηνυμάτων προς όλες τις κατευθύνσεις».
Το LLM «συνομιλούσε» με τον εαυτό του ενώ εκτελούσε υπολογισμούς. «Πάω να προτείνω κάτι πραγματικά αλλόκοτο, έναν ελιγμό “Crazy Ivan” για αυτό το πρόβλημα», σχολίαζε, αναφερόμενο σε μια απότομη στροφή που μερικές φορές εκτελούν τα υποβρύχια για να εντοπίσουν τους αντιπάλους τους, γνωστή από το μυθιστόρημα του Tom Clancy The Hunt for Red October.
Τελικά, το AlphaEvolve παρήγαγε περίπου 50 γραμμές κώδικα Python στις προσπάθειές του να εντοπίσει διαστήματα με μεγάλα d-αναλλοίωτα. Καθώς οι μαθηματικοί προσπαθούσαν να κατανοήσουν τι ακριβώς έκανε αυτός ο κώδικας, ο Ellenberg συνειδητοποίησε ότι, αν ο αριθμός των χαρτιών της τράπουλας ήταν δύναμη του 2 — όπως το 16, που είναι (2^4) — τότε το πρόγραμμα γινόταν πολύ συντομότερο, περίπου πέντε γραμμές μόνο. «Μπορείς να το αναλύσεις απολύτως ρητά», είπε ο Williamson. «Κάνει κάτι πραγματικά πολύ όμορφο».
Όπως περιέγραψαν σε προδημοσίευση (preprint) στις 3 Ιανουαρίου 2026, το AlphaEvolve είχε εντοπίσει ότι τα διαστήματα Bruhat σε αυτές τις συγκεκριμένες ομάδες μεταθέσεων είχαν μια απροσδόκητα ιδιαίτερη δομή. Όταν οι ερευνητές μελέτησαν τα διαστήματα, διαπίστωσαν ότι σχημάτιζαν υπερκύβους (hypercubes), δηλαδή κύβους υψηλότερων διαστάσεων. «Αν δει κανείς τι “σκεφτόταν” το AlphaEvolve, εγώ έμεινα πραγματικά έκπληκτος», είπε ο Libedinsky. «Αν επρόκειτο για άνθρωπο, θα ήταν ένας εξαιρετικά δημιουργικός άνθρωπος».
Το AlphaEvolve είχε απαντήσει σε ένα ερώτημα που οι ίδιοι δεν ήξεραν ότι είχαν. «Δεν ζητήσαμε από το AlphaEvolve να βρει μεγάλους υπερκύβους», είπε ο Ellenberg. «Του ζητήσαμε να βρει κάτι άλλο, και, όταν το σκεφτήκαμε, συνειδητοποιήσαμε ότι επρόκειτο για έναν γιγάντιο υπερκύβο, του οποίου την παρουσία δεν είχαμε προβλέψει».
Απόσπασμα από ένα prompt που έδωσαν οι μαθηματικοί στο AlphaEvolve, στο οποίο του ζητούσαν να κατασκευάσει ένα αντικείμενο που ονομάζεται σύνολο Kakeya. Οι μαθηματικοί έχουν διαπιστώσει ότι η ΤΝ αποδίδει καλύτερα όταν της παρέχεται ενθάρρυνση.
Όπως το διατύπωσε ο Williamson, «πρόκειται για μια δομή που βρισκόταν εκεί μπροστά στα μάτια μας εδώ και 50 χρόνια. Απλώς δεν την είχαμε προσέξει».
Παλαιότερες μέθοδοι μηχανικής μάθησης είχαν επίσης καταστήσει εφικτές τέτοιες συμπτωματικές μαθηματικές ανακαλύψεις, αποκαλύπτοντας πρότυπα που κανείς δεν είχε σκεφθεί να αναζητήσει. Όμως στο παρελθόν, είπε ο Williamson, αυτό απαιτούσε «μια πραγματική προσπάθεια μηχανικής. … Έπρεπε να ξέρεις να προγραμματίζεις, να αφιερώνεις πολύ χρόνο στις λεπτομέρειες της εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων. Για έναν μαθηματικό χωρίς ουσιαστικό υπόβαθρο στη μηχανική μάθηση, ήταν ουσιαστικά εξαιρετικά δύσκολο να το κάνει».
Με τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα (LLMs), «μπορώ ξαφνικά να κάνω σε 20 λεπτά ένα πείραμα που πριν από δύο χρόνια θα μου έπαιρνε δύο εβδομάδες», είπε. Παρότι «τις περισσότερες φορές δεν λειτουργεί», η ΤΝ μπορεί πλέον να χρησιμοποιηθεί όπως ποτέ άλλοτε «για να ανακαλύψουμε έναν κόσμο που διαθέτει πλούτη πέρα από τη φαντασία μας».
Γύρω από τη Σφαίρα
Παρόλο που τα διαστήματα Bruhat φαίνονται ως καθαρά συνδυαστικά αντικείμενα, διαδραματίζουν επίσης σημαντικό ρόλο σε έναν ιδιαίτερα αφηρημένο κλάδο των μαθηματικών, την αλγεβρική γεωμετρία (algebraic geometry), στον οποίο ειδικεύεται ο Ravi Vakil, μαθηματικός στο Stanford University και νυν πρόεδρος της American Mathematical Society.
Η αλγεβρική γεωμετρία είναι η μελέτη σχημάτων που ορίζονται από πολυωνυμικές εξισώσεις όπως η
(x^3 + 2x^2y + xz = 5),
οι οποίες περιλαμβάνουν άθροισμα μεταβλητών υψωμένων σε ακέραιους εκθέτες. Ο βαθμός της εξίσωσης είναι ο μέγιστος εκθέτης που εμφανίζει το πολυώνυμο, στην προκειμένη περίπτωση το 3.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να εμβυθιστεί μια σφαίρα. Οι μαθηματικοί παριστούν κάθε εμβύθιση ως ξεχωριστό σημείο μέσα σε έναν άλλο υψηλοδιάστατο χώρο. Στη συνέχεια, μελετούν τις εμβυθίσεις που ορίζονται από πολυώνυμα διαφορετικών βαθμών, αναλύοντας τους διαφορετικούς χώρους που αυτές σχηματίζουν.
Καθώς ο βαθμός αυξάνεται, οι μαθηματικοί θέλουν να κατανοήσουν πώς μεταβάλλονται αυτοί οι χώροι. Ήταν ήδη γνωστό ότι όταν ο βαθμός γίνεται αυθαίρετα μεγάλος — δηλαδή όταν τείνει στο άπειρο — ο χώρος αυτός μοιάζει με τον χώρο όλων των συνεχών εμβυθίσεων, και όχι μόνο εκείνων που ορίζονται από πολυώνυμα. Πότε όμως αρχίζει να εμφανίζεται αυτή η ομοιότητα;
Το AlphaEvolve «συνομιλούσε» με τον εαυτό του καθώς προσπαθούσε να επιλύσει ένα πρόβλημα σχετικό με τα διαστήματα Bruhat ομάδων μεταθέσεων.
Ο Vakil και οι συνεργάτες του είχαν βρει παραδείγματα που υποδείκνυαν, προς έκπληξή τους, ότι αυτό συμβαίνει πολύ γρήγορα. «Υπήρχε μια συνέπεια που δεν υποτίθεται ότι θα εμφανιζόταν παρά μόνο όταν θα φτάναμε στο άπειρο, και όμως εμφανιζόταν ήδη», είπε.
Έτσι, μαζί με τους Freddie Manners και George Salafatinos, οι οποίοι τότε εργάζονταν για τη DeepMind, επιχείρησαν να το αποδείξουν χρησιμοποιώντας δύο εξειδικευμένες ενότητες που είχαν αναπτυχθεί πάνω στο Google Gemini: το DeepThink, το οποίο είναι δημόσια διαθέσιμο, και ένα σύστημα που ανέπτυξε ο Salafatinos, με την ονομασία FullProof, το οποίο δεν είναι δημόσια διαθέσιμο. Ξεκίνησαν από μια απλούστερη περίπτωση. «Η απόδειξη που μας έδωσε ήταν πολύ κομψή, σωστή και εξαιρετικά καλογραμμένη. Μπορούσαμε να την ακολουθήσουμε γραμμή προς γραμμή», είπε ο Vakil. «Κατέστησε σαφή μια δομή που εκείνη τη στιγμή δεν ήταν προφανής. Από αυτό συνειδητοποιήσαμε πώς θα μπορούσε ενδεχομένως να λειτουργήσει ολόκληρο το επιχείρημα, καθώς και μια σημαντική γενίκευσή του».
Στη συνέχεια, ο Vakil και οι συνεργάτες του επέστρεψαν στο μοντέλο ΤΝ, σκιαγραφώντας μια απόδειξη για τη γενική περίπτωση και ζητώντας του να συμπληρώσει τις λεπτομέρειες. Όπως ανέφεραν σε προδημοσίευση (preprint) στις 12 Ιανουαρίου 2026, το μοντέλο τα κατάφερε. «Για μένα», είπε ο Vakil, «το πραγματικά σημαντικό ήταν το πρώτο βήμα» — δηλαδή η απόδειξη της απλούστερης περίπτωσης από τη DeepMind. «Η καθαρότητα του επιχειρήματος μάς έδωσε μια νέα ιδέα». Ωστόσο, αναρωτιέται: «Σε ποιον ανήκει αυτή η ιδέα; Σε εμάς; Στο μοντέλο;»
Όπως κι αν αποδοθεί η συμβολή, ο Vakil είπε: «Πιστεύω ότι θα είχα καταλήξει στην απόδειξη, αν μου δινόταν αρκετός χρόνος».
Ύστερα όμως δίστασε. «Νομίζω πως ναι. Δεν είμαι βέβαιος. Δεν ξέρω. Ίσως να το είχα κάνει με αδέξιο τρόπο. Είναι πολύ πιθανό ότι η εργασία δεν θα είχε υπάρξει χωρίς αυτή τη βοήθεια».
Και κατέληξε: «Χρειαζόταν να πηγαίνουμε μπρος-πίσω. Τα μοντέλα ΤΝ θα μας βοηθήσουν να κάνουμε μαθηματικά, επιτρέποντάς μας να κάνουμε πράγματα για τα οποία παλαιότερα δεν είχαμε χρόνο».
Αυτό είναι ίσως ένα παραδειγματικό παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο η ΤΝ μπορεί να είναι χρήσιμη σήμερα. Μια ομάδα ειδικών μαθηματικών, με τη βοήθεια μιας μεγάλης τεχνολογικής εταιρείας, καταφέρνει να επιλύσει κάτι ταχύτερα απ’ όσο πιθανότατα θα το έκανε διαφορετικά — και είναι βέβαιη για την ορθότητά του, επειδή μπορεί να ελέγξει το αποτέλεσμα γραμμή προς γραμμή.
Όλα όσα χρειάζεται να γνωρίζεις
Όταν αναρωτιόμαστε τι ακριβώς κάνει η ΤΝ στη μαθηματική έρευνα, δεν θα πρέπει να εξετάζουμε μόνο τις επιτυχίες. Ο Litt προειδοποίησε ότι «υπάρχει πολλή ρύπανση του κοινού γνωστικού πεδίου από ανοησίες παραγόμενες από ΤΝ». Ο Joel David Hamkins του University of Notre Dame δήλωσε ότι «απελπίζεται μπροστά σε αυτόν τον ωκεανό πρόχειρου και ευτελούς υλικού που κατακλύζει τα συστήματα των επιστημονικών μας περιοδικών».
Οι μαθηματικοί εναποθέτουν τις ελπίδες τους στις τυπικές αποδείξεις (formal proofs) ως μέσο πλοήγησης μέσα σε αυτόν τον ωκεανό χαμηλής ποιότητας περιεχομένου. Μετατρέπουν τις αποδείξεις σε μια γλώσσα που μπορούν να κατανοήσουν οι υπολογιστές και στη συνέχεια χρησιμοποιούν υπολογιστικά προγράμματα για να επαληθεύσουν ότι όλη η λογική αλληλουχία της απόδειξης είναι έγκυρη. «Η ΤΝ χωρίς επικύρωση είναι υπερβολικά αναξιόπιστη για να είναι χρήσιμη σε οποιαδήποτε σοβαρή εφαρμογή», είπε ο Tao.
Προς το παρόν, η τυποποίηση μαθηματικών αποδείξεων με αυτόν τον τρόπο είναι μια χρονοβόρα και περίπλοκη διαδικασία, η οποία απαιτεί η ίδια σημαντική μαθηματική γνώση και έχει σχεδόν χαρακτήρα τέχνης ή τεχνικής δεξιότητας. Γι’ αυτό οι μαθηματικοί στρέφονται ολοένα και περισσότερο προς την αυτόματη τυποποίηση (autoformalization), κατά την οποία τα μοντέλα ΤΝ μεταφράζουν μαθηματικές διατυπώσεις σε τυπικές λογικές προτάσεις και κατόπιν τις αποδεικνύουν. «Για πρώτη φορά», είπε ο Tao, «φαίνεται πράγματι ότι θα μπορούσαμε να τυποποιήσουμε ένα σημαντικό ποσοστό των μαθηματικών μέσω της ΤΝ».
Η άλλη μεγάλη πρόκληση, την οποία πολλοί μαθηματικοί θεωρούν συνέπεια της αυξανόμενης ικανότητας της ΤΝ να κάνει μαθηματικά, αφορά το πώς αυτή θα επηρεάσει τον τρόπο με τον οποίο μαθαίνουν οι φοιτητές. Ακόμη και οι πιο ένθερμοι υποστηρικτές της ΤΝ εκφράζουν ανησυχία. Ο Ken Ono, καθηγητής στο University of Virginia, ο οποίος πρόσφατα έλαβε άδεια απουσίας για να γίνει ο «ιδρυτικός μαθηματικός» της Axiom, μου είπε ότι βλέπει «μια αισιόδοξη εικόνα για το πώς η ΤΝ μπορεί να βοηθήσει τη μαθηματική έρευνα, αλλά ανησυχώ βαθιά για τον ρόλο της ΤΝ στο μέλλον της εργασίας και της εκπαίδευσης σε όλα τα επίπεδα».
Ο Tao είπε: «Πολλά από τα προβλήματα που αναθέτουμε, η ΤΝ μπορεί να τα λύσει ακαριαία. Αυτό μπορεί να αποθαρρύνει πολλούς φοιτητές από το να καλλιεργήσουν τις νοητικές τους δεξιότητες».
Ο Hamkins συμφώνησε. «Παλιότερα ανέθετα αρκετές εργασίες για το σπίτι. Πλέον απλώς δεν μπορώ να το κάνω», είπε· σημαντικό ποσοστό των εργασιών που παραδίδουν οι φοιτητές είναι γραμμένο από ΤΝ. «Δεν θέλω να το διαβάζω. Δεν θέλω να είμαι ο αστυνόμος της ΤΝ». Αν και οι εργασίες για το σπίτι είχαν πολύ μεγάλη παιδαγωγική αξία, τώρα «όλα πρέπει να γίνονται με κουίζ και εργασία εντός της τάξης. Είναι πρόβλημα για ολόκληρο το ακαδημαϊκό επάγγελμα».
Όπως μου είπε ένας ακόμη μαθηματικός σε κορυφαίο ερευνητικό πανεπιστήμιο, «υπάρχει σοβαρός κίνδυνος η ΤΝ, ενώ επιταχύνει παράλληλα την πρόοδο των ήδη καταξιωμένων μαθηματικών ερευνητών, να μας εμποδίσει να δημιουργήσουμε περισσότερους μαθηματικούς ερευνητές».
Ακόμη και με τις ραγδαίες αλλαγές του τελευταίου έτους, κανένας από τους μαθηματικούς με τους οποίους μίλησα κατά τη σύνταξη αυτού του άρθρου δεν φοβάται ότι το αντικείμενο θα καταστεί παρωχημένο. Ο Tao χρησιμοποίησε την αναλογία των μαθηματικών που προσπαθούν να αναρριχηθούν σε «μια μεγάλη οροσειρά με πολλά ψηλά βουνά και πολλούς πρόποδες». Οι άνθρωποι μπορούν να ανεβαίνουν μόνο βήμα προς βήμα, αλλά είναι σε θέση να σχεδιάσουν μια διαδρομή προς την κορυφή ενός βουνού όπως το Έβερεστ. Αντίθετα, είπε ο Tao, τα σημερινά συστήματα ΤΝ μοιάζουν με ρομπότ που πηδούν. Μερικές φορές μπορούν να «κάνουν παρκούρ και να φτάσουν στην κορυφή ενός τοίχου ύψους έξι ποδιών» τον οποίο ένας άνθρωπος δεν θα μπορούσε να σκαρφαλώσει. Δεν μπορούν όμως να κάνουν μακροπρόθεσμο στρατηγικό σχεδιασμό. Αυτά τα έξι πόδια μπορεί να γίνουν δέκα ή εκατό, φαντάζεται ο Tao, αλλά «τα μικρά ρομπότ που πηδούν δεν βρίσκονται ούτε κατά διάνοια κοντά στα Έβερεστ των μαθηματικών».
Ο Pak θεωρεί ότι ορισμένα τέτοια «Έβερεστ» — όπως ένα σημαντικό πρόβλημα στη θεωρία αριθμών σχετικά με το αν αθροίσματα όπως το π + e μπορούν να γραφούν ως κλάσματα — θα παραμείνουν άλυτα για αιώνες. «Αμφιβάλλω έντονα ότι η ΤΝ μπορεί να πετύχει έστω και το παραμικρό εκεί», είπε. «Δεν είναι κάτι που θα μπορούσε να κάνει η ΤΝ. Όμως είμαι αρκετά βέβαιος ότι, αν η ανθρωπότητα επιβιώσει, τελικά θα το καταφέρουμε».
Φυσικά, πολλά εξαρτώνται από το πώς θα μεταβληθούν και θα βελτιωθούν οι δυνατότητες των αλγορίθμων ΤΝ τα επόμενα χρόνια. Ακόμη και οι πιο οξυδερκείς και προσεκτικοί παρατηρητές δεν μπορούν να πουν με βεβαιότητα πώς θα εξελιχθούν τα μοντέλα. Ελάχιστοι διακρίνουν σημάδια στασιμότητας. «Τα πράγματα κινούνται πολύ γρήγορα. Δεν βλέπω κανένα σημάδι επιβράδυνσης», είπε ο Litt. Ήδη οι πρώτοι μήνες του 2026 έχουν συνοδευθεί από μια σταθερή ροή νέων αποτελεσμάτων από μεγάλες εταιρείες όπως η Google και η OpenAI, από μικρότερες όπως η Axiom, καθώς και από ακαδημαϊκούς, ακόμη και από ερασιτέχνες.
«Η προσδοκία μου είναι ότι, σίγουρα μέσα στα επόμενα 20 χρόνια, θα δούμε εργαλεία ΤΝ να παράγουν μαθηματικά που, με πολλούς μετρήσιμους τρόπους, θα είναι καλύτερα από εκείνα κάθε ανθρώπινου μαθηματικού», είπε ο Litt. «Θα μου προκαλούσε πραγματική έκπληξη αν αυτό δεν συμβεί».
Ωστόσο, όπως μου είπε ο Venkatesh, «τελικά, υπάρχουν άπειροι τρόποι να διατυπωθεί οποιοδήποτε τμήμα των μαθηματικών». Οι επιλογές που κάνουμε, είπε, καθορίζονται από ανθρώπινες αξίες και διαμορφώνονται από το γεγονός ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο επιστήμη αλλά και τέχνη.
Αυτή η ισορροπία ανάμεσα στην επιστήμη και την τέχνη είναι σε μεγάλο βαθμό εκείνη που προσδίδει στα μαθηματικά την ομορφιά τους — ένα από τα «πολύτιμα στοιχεία του πολιτισμού μας» που ο Venkatesh θέλει να διατηρηθούν. Αν η ΤΝ απομακρύνει τα μαθηματικά από την καλλιτεχνική τους κληρονομιά, τότε το πεδίο θα υποβαθμιστεί, ακόμη κι αν αποδεικνύονται περισσότερα θεωρήματα κάθε μήνα. Άλλωστε, κανένας ποιητής δεν μιλά σοβαρά για το ενδεχόμενο να εφαρμόσει στατιστική παλινδρόμηση (statistical regression) σε σονέτα για να εντοπίσει τα βέλτιστα.
Σχετικά:
- Η μαθηματική ομορφιά, η αλήθεια και η απόδειξη στην εποχή της ΤΝ
- Όταν το ChatGPT ανέτρεψε ένα ολόκληρο πεδίο: μια προφορική ιστορία
- Οι ερευνητές αποκαλύπτουν τα κρυφά συστατικά πίσω από τη δημιουργικότητα της ΤΝ
Η καλύτερη ελπίδα για την ΤΝ είναι ότι θα βοηθήσει τους μαθηματικούς να ανακαλύψουν και να αποδείξουν πράγματα που διαφορετικά θα παρέμεναν μυστήρια. Οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούν ότι αυτό ακριβώς κάνουν οι υπολογιστές εδώ και 80 χρόνια. Ωστόσο, η κλίμακα της αλλαγής που βρίσκεται τώρα σε εξέλιξη έχει αφήσει πολλούς με ένα αίσθημα ανησυχίας.
Το μεγαλύτερο ετήσιο συνέδριο μαθηματικών στον κόσμο πραγματοποιείται κάθε χρόνο στις αρχές Ιανουαρίου. Το 2026, στην Ουάσιγκτον, τα νευρικά αστεία για το ενδεχόμενο η ΤΝ να τους καταστήσει περιττούς ήταν άφθονα, παρότι, επισήμως, όλοι επέμεναν ότι η ΤΝ θα λειτουργήσει ως βοηθός των ανθρώπινων μαθηματικών. Ο Williamson — ο οποίος εργάζεται με την ΤΝ εδώ και χρόνια και είναι ιδιαίτερα ενθουσιασμένος με αυτήν — επιλέχθηκε να δώσει μια σειρά από διακεκριμένες διαλέξεις σχετικά με την ΤΝ και τα μαθηματικά ενώπιον ολόκληρου του συνεδρίου. Είπε στο ακροατήριο ότι είναι λάθος να αντιδρά κανείς στις εξελίξεις της ΤΝ με άγνοια και φόβο.
Πρόσθεσε όμως ότι κατανοεί από πού πηγάζει αυτός ο φόβος. Βλέπει τα μαθηματικά ως μια τέχνη-τεχνική (craft) «στην οποία οι άνθρωποι έχουν αφιερώσει τη ζωή τους — έχουν αφιερωθεί ολοκληρωτικά. Υπάρχει κάποια πιθανότητα η αξία της να μειωθεί σημαντικά στο μέλλον».
