Δύο νέες έννοιες του απείρου αμφισβητούν ένα μακροχρόνιο σχέδιο ορισμού του μαθηματικού σύμπαντος.
Εικονογράφηση ενός ανθρώπου που κλαδεύει θάμνους σε σχήματα συμβόλων του απείρου.
Οι μαθηματικοί διερευνούν τα όρια της λογικής επινοώντας νέους τύπους απείρου.
Εισαγωγή
Του Gregory Barber
Συντάκτης
20 Ιουνίου 2025
Τον περασμένο χειμώνα, σε μια συνάντηση στη φινλανδική ερημιά ψηλά πάνω από τον Αρκτικό Κύκλο, μια ομάδα μαθηματικών συγκεντρώθηκε για να συλλογιστεί τη μοίρα ενός μαθηματικού σύμπαντος.
Η θερμοκρασία ήταν -20 βαθμοί Κελσίου, και ενώ κάποιοι έκαναν σκι αντοχής, ο Juan Aguilera, θεωρητικός συνόλων στο Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο της Βιέννης, προτιμούσε να μένει στην καφετέρια, να κόβει κομμάτια από γλυκό pulla και να συζητά για τη φύση δύο νέων εννοιών του απείρου. Οι συνέπειες, πίστευε ο Aguilera, ήταν μεγαλειώδεις. «Απλώς δεν ξέρουμε ακόμη ποιες είναι», είπε.
Το άπειρο, αντιδιαισθητικά, εμφανίζεται σε πολλές μορφές και μεγέθη. Αυτό είναι γνωστό ήδη από τη δεκαετία του 1870, όταν ο Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών — δηλαδή όλων των αριθμών της αριθμητικής ευθείας — είναι μεγαλύτερο από το σύνολο των ακεραίων, παρόλο που και τα δύο σύνολα είναι άπειρα. (Η σύντομη εκδοχή: όσο κι αν προσπαθήσει κανείς να αντιστοιχίσει πραγματικούς αριθμούς με ακεραίους, πάντοτε θα περισσεύουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί.) Τα δύο σύνολα, υποστήριξε ο Cantor, αντιπροσώπευαν εντελώς διαφορετικές μορφές απείρου και, επομένως, είχαν βαθύτατα διαφορετικές ιδιότητες.
Από εκεί και πέρα, ο Cantor κατασκεύασε και μεγαλύτερα άπειρα. Πήρε το σύνολο των πραγματικών αριθμών, κατασκεύασε ένα νέο σύνολο από όλα τα υποσύνολά του, και στη συνέχεια απέδειξε ότι αυτό το νέο σύνολο ήταν μεγαλύτερο από το αρχικό σύνολο των πραγματικών αριθμών. Και όταν πήρε όλα τα υποσύνολα αυτού του νέου συνόλου, απέκτησε ένα ακόμη μεγαλύτερο σύνολο. Με αυτόν τον τρόπο, οικοδόμησε άπειρα πολλά σύνολα, το καθένα μεγαλύτερο από το προηγούμενο. Αναφερόταν στα διαφορετικά μεγέθη αυτών των άπειρων συνόλων ως πληθικούς αριθμούς (cardinal numbers), που δεν πρέπει να συγχέονται με τους συνηθισμένους αριθμούς 1, 2, 3…
Οι θεωρητικοί συνόλων συνέχισαν να ορίζουν πληθικούς αριθμούς πολύ πιο εξωτικούς και δυσκολότερους να περιγραφούν από εκείνους του Cantor. Κάνοντάς το αυτό, ανακάλυψαν κάτι εντυπωσιακό: αυτοί οι «μεγάλοι πληθικοί αριθμοί» (large cardinals) εντάσσονται σε μια εκπληκτικά τακτική ιεραρχία. Μπορούν να οριστούν με σαφήνεια ως προς το μέγεθος και την πολυπλοκότητά τους. Όλοι μαζί σχηματίζουν έναν τεράστιο πύργο απείρων, τον οποίο οι θεωρητικοί συνόλων χρησιμοποιούν για να διερευνήσουν τα όρια του μαθηματικά δυνατού.
Όμως οι δύο νέοι πληθικοί αριθμοί που συλλογιζόταν ο Aguilera μέσα στο αρκτικό ψύχος συμπεριφέρονταν παράξενα. Είχε πρόσφατα κατασκευάσει αυτούς τους αριθμούς μαζί με τον Joan Bagaria του Πανεπιστημίου της Βαρκελώνης και τον Philipp Lücke του Πανεπιστημίου του Αμβούργου, μόνο και μόνο για να διαπιστώσει ότι δεν ταίριαζαν ακριβώς στη συνηθισμένη ιεραρχία. Αντίθετα, «εξερράγησαν», όπως είπε ο Aguilera, δημιουργώντας μια νέα κατηγορία απείρων που οι συνάδελφοί τους δεν είχαν προβλέψει — και υποδηλώνοντας ότι στα μαθηματικά επικρατεί πολύ περισσότερο χάος απ’ όσο αναμενόταν.
Πρόκειται για έναν προκλητικό ισχυρισμό. Για ορισμένους, αυτή η προοπτική είναι συναρπαστική. «Λατρεύω αυτή την εργασία», είπε ο Toby Meadows, λογικός και φιλόσοφος στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Irvine. «Φαίνεται πως πρόκειται για πραγματική πρόοδο — για μια πραγματικά ενδιαφέρουσα ιδέα που δεν είχαμε προηγουμένως.»
Όμως είναι επίσης δύσκολο να γνωρίζει κανείς με βεβαιότητα αν αυτός ο ισχυρισμός είναι αληθινός. Αυτή είναι η φύση της μελέτης του απείρου. Αν τα μαθηματικά είναι ένα υφαντό ραμμένο με παραδοσιακές παραδοχές στις οποίες όλοι συμφωνούν, τότε τα ανώτερα επίπεδα του απείρου είναι οι φθαρμένες του άκρες. Οι θεωρητικοί συνόλων που εργάζονται σε αυτές τις ακραίες περιοχές κινούνται σε έναν χώρο όπου τα παραδοσιακά αξιώματα που χρησιμοποιούνται για τη συγγραφή μαθηματικών αποδείξεων δεν εφαρμόζονται πάντοτε, και όπου νέα αξιώματα πρέπει να διατυπωθούν — και συχνά καταρρέουν.
Εδώ πάνω, τα περισσότερα ερωτήματα είναι θεμελιωδώς αναπόδεικτα και η αβεβαιότητα κυριαρχεί. Και έτσι, για κάποιους, οι νέοι πληθικοί αριθμοί δεν αλλάζουν τίποτα. «Δεν το πιστεύω καθόλου», είπε ο Hugh Woodin, θεωρητικός συνόλων στο Πανεπιστήμιο Harvard, ο οποίος ηγείται σήμερα της προσπάθειας για τον πλήρη ορισμό του μαθηματικού σύμπαντος. Ο Woodin ήταν επιβλέπων διδάκτορας του Bagaria πριν από 35 χρόνια και του Aguilera τη δεκαετία του 2010. Όμως οι μαθητές του χαράσσουν πλέον τον δικό τους δρόμο μέσα στις πυκνές διακλαδώσεις του απείρου. «Τα παιδιά σου μεγαλώνουν και σε αμφισβητούν», είπε ο Woodin.
Τα σύμπαντα της θεωρίας συνόλων
Οι περισσότεροι μαθηματικοί δεν ασχολούνται με τέτοιου είδους ερωτήματα. Εργάζονται με ένα σύνολο εννέα παραδοχών, ή αξιωμάτων, σχετικά με το πώς συμπεριφέρονται τα σύνολα, γνωστό ως ZFC — δηλαδή «θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel με το αξίωμα της επιλογής». Αυτοί οι εννέα κανόνες δεν μπορούν να αποδειχθούν. Οι μαθηματικοί απλώς έχουν συμφωνήσει ότι παρέχουν ένα φυσικό θεμέλιο για το υπόλοιπο οικοδόμημα των μαθηματικών. Πάνω σε αυτούς, οικοδομούν αυστηρές αποδείξεις για όλες τις εικασίες τους.
Όμως, το 1931, ο Γερμανός μαθηματικός Kurt Gödel έδειξε ότι κάθε ενδιαφέρον σύστημα μαθηματικών αξιωμάτων είναι καταδικασμένο να είναι μη πλήρες. Θα υπάρχουν πάντοτε αληθείς προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν. Για να αποδείξουν αυτές τις αληθείς προτάσεις, οι μαθηματικοί θα έπρεπε να προσθέσουν ένα νέο αξίωμα. Όμως τότε και αυτή η εκτενέστερη λίστα αξιωμάτων θα οδηγούσε επίσης σε αληθείς αλλά αναπόδεικτες προτάσεις. Και ούτω καθεξής. Όποιος θέλει να αποδείξει όλες τις δυνατές προτάσεις του μαθηματικού σύμπαντος θα αναγκαστεί να συνεχίσει να δημιουργεί νέα αξιωματικά συστήματα επ’ άπειρον.
Αυτό σημαίνει ότι το μαθηματικό σύμπαν, το οποίο οι μαθηματικοί συχνά ονομάζουν (V), είναι θεμελιωδώς άγνωστο. Όμως οι θεωρητικοί συνόλων θέλουν να το περιγράψουν όσο το δυνατόν πλησιέστερα — να δημιουργήσουν πρότυπα σύμπαντα που να μοιάζουν με το πραγματικό, ενώ ταυτόχρονα να είναι ευκολότερα στη μελέτη. Αυτά τα πρότυπα παρέχουν στους μαθηματικούς τα επιπλέον αξιώματα που χρειάζονται για να αποδείξουν εκείνες τις δυσπρόσιτες προτάσεις για «μικρότερα» αξιωματικά συστήματα, όπως το ZFC, ενώ ταυτόχρονα τους δίνουν την πεποίθηση ότι τα πρόσθετα αξιώματα που χρησιμοποιούν δεν είναι αυθαίρετα. «Καθώς ενισχύεις αυτές τις θεωρίες, καταλήγεις να κάνεις τα μαθηματικά χαμηλού επιπέδου πιο συγκεκριμένα. Στερεοποιούνται», είπε ο Meadows.
Ο Gödel παρείχε ένα σημείο εκκίνησης. Κατασκεύασε ένα πρότυπο, το οποίο ονόμασε (L), ξεκινώντας από το κενό σύνολο — που είναι ακριβώς αυτό που υποδηλώνει το όνομά του — και κατασκευάζοντας επαναληπτικά μεγαλύτερα σύνολα από εκεί και πέρα. Το πρότυπο αυτό ήταν καλό και εύχρηστο, αλλά ήταν επίσης μερικό. Δεν περιλάμβανε τους μεγάλους πληθικούς αριθμούς — εκείνα τα πιο παράξενα άπειρα που δεν μπορούν να κατασκευαστούν με τις ίδιες μεθόδους όπως τα άπειρα του Cantor. Γι’ αυτό το (L) αποκαλείται «εσωτερικό» πρότυπο του (V), επειδή βρίσκεται μέσα στο μεγαλύτερο σύμπαν.
Οι θεωρητικοί συνόλων επιδιώκουν να επεκτείνουν αυτή την εικόνα. Καθ’ όλη τη διάρκεια του 20ού αιώνα, όρισαν περισσότερους μεγάλους πληθικούς αριθμούς, με ονομασίες όπως strong, compact, supercompact και huge. Κάθε νέος ορισμός απαιτεί τη δημιουργία ενός νέου αξιώματος· και έπειτα οι θεωρητικοί συνόλων ελπίζουν να δείξουν ότι αυτό το νέο αξίωμα είναι συνεπές με το ZFC, δηλαδή ότι δεν παραβιάζει τους θεμελιωδέστερους κανόνες των μαθηματικών.
Αυτοί οι μεγάλοι πληθικοί αριθμοί φαίνεται επίσης να σχηματίζουν μια εκπληκτικά τακτική ιεραρχία, έναν αληθινό πύργο απείρων. Κάθε μεγάλος πληθικός είναι πολύ, πολύ μεγαλύτερος από εκείνον που βρίσκεται ακριβώς από κάτω του· και, για παράδειγμα, το αξίωμα που τον ορίζει μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθούν πολύ περισσότερες προτάσεις από ό,τι τα αξιώματα που ορίζουν χαμηλότερους πληθικούς. Επιπλέον, εξαιτίας αυτής της ιεραρχίας, αν οι μαθηματικοί μπορέσουν να δείξουν ότι ένας μεγάλος πληθικός είναι συνεπής με το ZFC, αυτό θα συνεπάγεται και τη συνέπεια όλων των πληθικών που βρίσκονται χαμηλότερα στον πύργο. «Θα μπορούσες να σκεφτείς: “Ω, θα είναι απλώς απόλυτο χάος.” Όμως δεν φαίνεται να είναι έτσι», είπε ο Meadows.
Κάθε φορά που ένας νέος πληθικός αριθμός προστίθεται σε αυτόν τον πύργο, η απόδειξη της συνέπειάς του απαιτεί επίσης την ανάπτυξη ενός μεγαλύτερου και πιο εκλεπτυσμένου εσωτερικού προτύπου. «Βάζεις εκεί μέσα μόνο τον ελάχιστο αριθμό πραγμάτων που είναι αναγκαία, ώστε στο τελικό πρότυπο να υπάρχει ο μεγάλος πληθικός σου», είπε ο Bagaria. Με κάθε νέο πρότυπο, το ορισμένο μαθηματικό σύμπαν επεκτείνεται.
Για τον Woodin, το όνειρο είναι να κατασκευάσει ένα εσωτερικό πρότυπο που να προσεγγίζει πραγματικά το (V) και επομένως να περιλαμβάνει όλους τους μεγάλους πληθικούς αριθμούς. Το ονομάζει Ultimate (L). Αυτό ίσως φαίνεται σαν ένα απελπιστικό εγχείρημα — άλλωστε, λόγω των αποτελεσμάτων μη πληρότητας του Gödel, θα έπρεπε να απαιτεί την κατασκευή απείρων εσωτερικών προτύπων, καθένα από τα οποία θα περιείχε έναν ακόμη απερίγραπτα μεγάλο πληθικό αριθμό.
Όμως πριν από 20 χρόνια, ο Woodin ανακάλυψε μια συντομότερη οδό: δεν χρειάζεται να κατασκευάσεις εσωτερικά πρότυπα για όλους τους μεγάλους πληθικούς αριθμούς. Αν φτάσεις σε ένα ορισμένο σημείο της ιεραρχίας — στον μεγάλο πληθικό που ονομάζεται supercompact — τότε το πρότυπο «κληρονομεί» όλους τους μεγάλους πληθικούς που βρίσκονται πάνω από αυτό. «Παίρνεις τα πάντα», είπε ο Woodin. «Συμβαίνει κάτι μαγικό.»
Ωστόσο, το σχέδιό του για την κατασκευή του Ultimate (L) στηρίζεται στην ιδέα ότι το μαθηματικό σύμπαν έχει ωραία δομή, με τους μεγάλους πληθικούς να σχηματίζουν έναν καθαρό, ιεραρχικό πύργο. Στη μαθηματική ορολογία, αυτοί πρέπει να είναι κληρονομικώς τακτικώς ορίσιμοι (hereditarily ordinal definable, ή HOD).
Ο Woodin χάραξε δύο δυνατότητες. «Το (V) είναι είτε πολύ κοντά στο HOD είτε πολύ μακριά από το HOD», είπε ο Bagaria. «Δεν υπάρχει ενδιάμεση κατάσταση.» Αν μπορούσες να βρεις ένα πράγμα που να σπάει αυτό το ιεραρχικό πρότυπο, τότε πιθανότατα θα έσπαγαν και πολλά άλλα· το χάος θα επικρατούσε. «Ίσως το σύμπαν να περιέχει πράγματι πολλά πράγματα που δεν είναι ορίσιμα», είπε ο Aguilera.
Όμως ο Woodin εικάζει ότι ισχύει η πρώτη εκδοχή — ότι δηλαδή το (V) έχει ωραία δομή, με έναν ορίσιμο πύργο πληθικών αριθμών. Μέχρι στιγμής, τα διαθέσιμα στοιχεία δείχνουν ότι έχει δίκιο. Κανείς δεν έχει καταφέρει να βρει έναν μεγάλο πληθικό αριθμό που να μην εντάσσεται στον πύργο, παραμένοντας ταυτόχρονα συνεπής με το ZFC.
Τώρα, όμως, ο Aguilera και οι συνεργάτες του περιπλέκουν την εικόνα.
Τάξη εναντίον Χάους
Υπάρχουν ορισμένες έμμεσες ενδείξεις υπέρ της μαθηματικής αταξίας. Καταρχάς, παρά τις πολλές δεκαετίες εργασίας, η πρόοδος των μαθηματικών στο πρόγραμμα του Ultimate (L) υπήρξε αργή. Ο ίδιος ο Woodin έχει περάσει από περιόδους αμφιβολίας, αν και σήμερα πιστεύει ότι η επίτευξη του Ultimate (L) είναι δυνατή.
Οι θεωρητικοί συνόλων έχουν επίσης εντοπίσει πολύ μεγάλους πληθικούς αριθμούς που φαίνεται να απομακρύνονται από το HOD, αν και αποτελούν ακραίες εξαιρέσεις. Ο ορισμός αυτών των πληθικών απαιτεί την εγκατάλειψη ενός από τα εννέα αξιώματα του ZFC — του λεγόμενου αξιώματος της επιλογής. Η απόρριψη ενός θεμελιώδους αξιώματος δεν αποτελεί, για πολλούς μαθηματικούς, ελκυστική προσέγγιση.
Σε αυτό το σημείο μπήκαν στη διαμάχη ο Aguilera, ο Bagaria και ο Lücke. Στην πρόσφατη εργασία τους, παρήγαγαν δύο νέους τύπους απείρου, τους οποίους ονόμασαν exacting και ultraexacting πληθικούς αριθμούς. Το κρίσιμο είναι ότι αυτοί οι πληθικοί δεν παραβιάζουν το αξίωμα της επιλογής.
Ο ορισμός τους ήταν σχετικά απλός: είναι ουσιαστικά μεγαλύτερα ανάλογα άλλων τύπων μεγάλων πληθικών αριθμών. Όμως αυτά τα νέα άπειρα εμφανίζουν παράξενες ιδιότητες. Αρχικά, φαίνεται να ταιριάζουν στη συνηθισμένη ιεραρχία: είναι σαφές σε ποιο σημείο του πύργου θα έπρεπε να βρίσκονται, ως προς το μέγεθος και την πολυπλοκότητα. Στη συνέχεια, όμως, η τριάδα προσπάθησε να τα συνδυάσει με άλλους, μικρότερους πληθικούς αριθμούς.
Συνήθως, όταν προσθέτεις μεγάλους πληθικούς αριθμούς που είναι συμβατοί με το HOD — ναι, είναι πράγματι δυνατό να προσθέτει κανείς άπειρα μεταξύ τους — παίρνεις ένα άθροισμα που είναι περίπου του ίδιου μεγέθους με τον μεγαλύτερο πληθικό του συνδυασμού. Δεν είναι δυνατό να «πηδήξεις» σε υψηλότερο επίπεδο της ιεραρχίας. Σκέψου ότι, αν προσθέσεις το 100 σε ένα πεντάκις εκατομμύριο, το άθροισμα θα παραμείνει της ίδιας τάξης μεγέθους με το πεντάκις εκατομμύριο· δεν θα καταλήξεις σε έναν πολύ, πολύ μεγαλύτερο αριθμό.
Όμως, αν προσθέσεις έναν μικρότερο πληθικό σε ένα από αυτά τα νέα άπειρα, τότε «κάπως εκρήγνυνται», είπε ο Bagaria. «Πρόκειται για ένα φαινόμενο που δεν είχε εμφανιστεί ποτέ πριν.» Αυτό υποδήλωνε την ύπαρξη ενός πολύ, πολύ μεγαλύτερου πληθικού αριθμού — ενός απείρου μεγαλύτερου από οτιδήποτε οι μαθηματικοί είχαν φανταστεί ότι θα μπορούσε να είναι συνεπές με το ZFC.
«Αυτό αμφισβητεί τη διαίσθηση που είχαμε για το πώς σχετίζονται μεταξύ τους οι μεγάλοι πληθικοί αριθμοί και πώς είναι διατεταγμένοι», είπε ο Aguilera.
Σε αυτό το σημείο μπήκαν στη διαμάχη ο Aguilera, ο Bagaria και ο Lücke. Στην πρόσφατη εργασία τους, παρουσίασαν δύο νέους τύπους απείρου, τους οποίους ονόμασαν exacting και ultraexacting πληθικούς αριθμούς. Το κρίσιμο είναι ότι αυτοί οι πληθικοί δεν παραβιάζουν το αξίωμα της επιλογής.
Ο ορισμός τους ήταν σχετικά απλός: πρόκειται ουσιαστικά για μεγαλύτερα ανάλογα άλλων τύπων μεγάλων πληθικών αριθμών. Ωστόσο, αυτά τα νέα άπειρα εμφανίζουν παράξενες ιδιότητες. Αρχικά, φαίνεται να εντάσσονται στη συνηθισμένη ιεραρχία: είναι σαφές σε ποιο σημείο του πύργου θα έπρεπε να βρίσκονται, ως προς το μέγεθος και την πολυπλοκότητά τους. Έπειτα, όμως, η τριάδα επιχείρησε να τα συνδυάσει με άλλους, μικρότερους πληθικούς αριθμούς.
Συνήθως, όταν προσθέτεις μεγάλους πληθικούς αριθμούς που είναι συμβατοί με το HOD — ναι, είναι πράγματι δυνατό να προσθέτει κανείς άπειρα μεταξύ τους — προκύπτει ένα άθροισμα που είναι περίπου του ίδιου μεγέθους με τον μεγαλύτερο πληθικό του συνδυασμού. Δεν είναι δυνατό να μεταπηδήσεις σε υψηλότερο επίπεδο της ιεραρχίας. (Σκέψου ότι, αν προσθέσεις το 100 σε ένα πεντάκις εκατομμύριο, το άθροισμα θα παραμείνει της ίδιας τάξης μεγέθους με το πεντάκις εκατομμύριο· δεν θα καταλήξεις σε έναν πολύ, πολύ μεγαλύτερο αριθμό.)
Όμως, αν προσθέσεις έναν μικρότερο πληθικό σε ένα από αυτά τα νέα άπειρα, τότε «κάπως εκρήγνυνται», είπε ο Bagaria. «Πρόκειται για ένα φαινόμενο που δεν είχε εμφανιστεί ποτέ πριν.» Αυτό υποδήλωνε την ύπαρξη ενός πολύ, πολύ μεγαλύτερου πληθικού αριθμού — ενός απείρου μεγαλύτερου από οτιδήποτε οι μαθηματικοί είχαν φανταστεί ότι θα μπορούσε να είναι συνεπές με το ZFC.
«Αυτό αμφισβητεί τη διαίσθηση που είχαμε για το πώς σχετίζονται μεταξύ τους οι μεγάλοι πληθικοί αριθμοί και πώς είναι διατεταγμένοι», είπε ο Aguilera.
«Ανακαλύψαμε αυτή τη νέα περιοχή όπου το σύμπαν γίνεται τόσο άγριο, τόσο πολύπλοκο, ώστε δεν μπορεί πλέον να είναι ίσο με το HOD», είπε ο Bagaria. Και πρόσθεσε ότι πιθανότατα υπάρχουν πολλά ακόμη παράξενα άπειρα εκεί έξω, που περιμένουν να εξερευνηθούν.
Σύμφωνα με τον Aguilera, το μαθηματικό σύμπαν, όπως και το φυσικό μας σύμπαν, ίσως αποτελείται κυρίως από σκοτεινή ύλη. «Φαίνεται τώρα πως το μεγαλύτερο μέρος του σύμπαντος αποτελείται κατά κάποιον τρόπο από πράγματα που δεν μπορούμε να δούμε», είπε.
Μαθηματικά Πειράματα
Παρόλα αυτά, αυτό δεν διαψεύδει κατ’ ανάγκην την εικασία του HOD, ούτε καθιστά άνευ αντικειμένου το πρόγραμμα του Woodin για το Ultimate (L). Στην πραγματικότητα, ο Woodin είχε ήδη εξετάσει στο παρελθόν έναν πιθανό μεγάλο πληθικό αριθμό που, εκ των υστέρων, αποδείχθηκε ισοδύναμος με τους ultraexacting πληθικούς. Όμως τον είχε απορρίψει, επειδή δεν πίστευε ότι είναι συνεπής με το ZFC — κάτι που θα τον καθιστούσε άσχετο με το δικό μας μαθηματικό σύμπαν.
Το επόμενο βήμα της ομάδας είναι να συγκεντρώσει ενδείξεις προς την αντίθετη κατεύθυνση, ώστε να δείξει ότι και οι δύο πληθικοί αριθμοί που όρισαν είναι συνεπείς.
Όμως τα μαθηματικά της θεωρίας συνόλων, τα οποία τόσο συχνά κατοικούν σε έναν κόσμο πέρα από την απόδειξη, τείνουν να μοιάζουν περισσότερο με τη φυσική ή τη βιολογία, όπως το έθεσε ο Aguilera. Διατυπώνεις μια αρχή και τη δοκιμάζεις πειραματικά· εξετάζεις αν οδηγεί σε αντιφάσεις και αναλύεις πώς συγκρίνεται με όσα ήδη γνωρίζεις. Ίσως να μην μπορείς ακόμη να αποδείξεις ότι είναι αληθής, αλλά με τα κατάλληλα «πειράματα» μπορείς να προσφέρεις ισχυρές ενδείξεις υπέρ του ισχυρισμού σου.
Ο Aguilera, ο Bagaria και ο Lücke έχουν παρουσιάσει ενδείξεις ότι οι νέοι τους πληθικοί αριθμοί είναι συνεπείς με το ZFC — και αυτό αποτελεί το κύριο μέρος της νέας τους εργασίας. Για παράδειγμα, έχουν δείξει ότι οι exacting και ultraexacting πληθικοί έχουν παρόμοια δομή και συμπεριφορά με άλλους μεγάλους πληθικούς αριθμούς. Ο ορισμός τους συνεπάγεται επίσης ότι, αν ένας άλλος, πιο καθιερωμένος τύπος απείρου είναι συνεπής με το ZFC, τότε και οι ultraexacting πληθικοί θα πρέπει επίσης να είναι συνεπείς — και τα τελευταία χρόνια έχουν εμφανιστεί πολλές ενδείξεις υπέρ της συνέπειας εκείνου του άλλου τύπου απείρου.
Αυτό, υποστηρίζει η τριάδα, καθιστά τους νέους αυτούς πληθικούς ιδιαίτερα ισχυρούς υποψηφίους για να δείξουν ότι το HOD απέχει πολύ από το (V), δηλαδή ότι το μαθηματικό σύμπαν δεν είναι τόσο όμορφα διατεταγμένο όσο πιστευόταν.
Δεν έχουν πειστεί όλοι. Ο Gabe Goldberg, θεωρητικός συνόλων στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Berkeley, επισημαίνει ότι, παρόλο που η τριάδα μπορεί να αισθάνεται σιγουριά για τις ενδείξεις που διαθέτει σχετικά με τη συνέπεια με το ZFC, στη μελέτη του απείρου οι εκπλήξεις είναι συχνό φαινόμενο. Ορισμένες παραδοχές μπορεί τελικά να πάψουν να ισχύουν, με αποτέλεσμα τα επιχειρήματα των μαθηματικών να καταρρεύσουν. Για να ανατραπεί πραγματικά η εικασία του HOD, είπε, θα χρειαστούν πολύ περισσότερα.
Ο Woodin συμφώνησε. «Νομίζω ότι πρέπει να είμαστε πολύ, πολύ προσεκτικοί», είπε. Εξακολουθεί να πιστεύει ότι το HOD είναι κοντά στο VV — και σκοπεύει να συνεχίσει τη δεκαετιών πορεία του προς την κατασκευή μιας όσο το δυνατόν πληρέστερης περιγραφής του μαθηματικού σύμπαντος. Αυτή την περίοδο γράφει ένα «πολύ μεγάλο χειρόγραφο» σχετικά με την πιο πρόσφατη προσέγγισή του στο Ultimate LL.
Άλλοι θεωρητικοί συνόλων είναι ενθουσιασμένοι με τις δυνατότητες που ανοίγουν αυτά τα νέα άπειρα. Για αυτούς, το χάος είναι η πιο συναρπαστική εκδοχή. «Εννοώ, κατά κάποιον τρόπο… αν το Ultimate LL πετύχαινε, αυτό θα έκλεινε κάπως ένα πραγματικά ενδιαφέρον κεφάλαιο της θεωρίας συνόλων», είπε ο Meadows. «Θα ήταν σαν τον Αλέξανδρο όταν φτάνει στην Ινδία και ανακαλύπτει ότι δεν υπάρχει πια άλλος κόσμος να κατακτήσει.»
Ίσως, τελικά, να απομένουν πολύ περισσότερα ακόμη για να κατακτήσουν οι μαθηματικοί. Ήρθε η ώρα, είπε ο Aguilera, να εξερευνήσουν τι άλλο υπάρχει εκεί έξω. «Λέω πάντα στους ανθρώπους ότι τα μαθηματικά είναι άπειρα, αλλά ο χρόνος δεν είναι», είπε.
